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1) INTRODUCCIÓN Y CONCEPTOS

Problema de mecánica realizado con alumnos de primer curso de Ingeniería de Caminos pero que puede ser útil para alumnos avanzados de Bachillerato.

Los conceptos tratados son la conservación de la energía, la Segunda ley de Newton, las fuerzas Normal y Tensión y la aceleración centrípeta.

Problema muy útil para mostrar el “poder” de la Física, su capacidad para definir conceptos capaces de transformar una situación real en una ecuación y de este modo predecir su desarrollo.

2) PROBLEMA

Este problema está incluido en el libro “Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica.” Autores: Ferdinand P. Beer and E. Russell Johnston Jr.  Sexta Edición. Ed. McGraw-Hill

Problema

3. RESOLUCIÓN

El problema se resuelve con un balance de energía entre el punto A y el punto B. Al no haber rozamiento ni ninguna fuerza impulsora sobre la esfera, la energía de la esfera en el punto A debe ser la misma que en el punto B. Es la Ley de conservación de la energía.

Tomando como nivel de alturas cero el nivel del punto A, es fácil entender que la energía en el punto A es sólo de tipo cinético debida a la velocidad vA que se le proporciona a la esfera y que es la incógnita del problema. Esta energía cinética corresponde a:

Ecinetica

La clave es la energía en el punto B. Es obvio que la esfera en este punto posee energía potencial gravitatoria con valor:

Epotencial

donde R es la longitud de la cuerda o varilla unida a la esfera y que corresponde al radio de la circunferencia que describe la esfera.

Hasta aquí da igual que la esfera esté unida a una varilla o una cuerda. Y ahora viene la parte bonita del problema, la pregunta que todos nos hacemos la primera vez que leemos el problema ¿Qué más dará que la esfera esté unida a una varilla o a una cuerda? Pensando un poco se puede comprender que la varilla es capaz de sujetar a la cuerda en el punto más alto pero la cuerda no. Pero ¿Cómo se expresa matemáticamente esta diferencia? Esta es la esencia de la física, expresar realidades por medio de ecuaciones matemáticas.

Respondamos a la pregunta. Puesto que la varilla, que es rígida, en el punto B la varilla sujeta a la esfera y por tanto nunca puede caer. Para que la esfera de la vuelta completa simplemente es necesario que llegue al punto B, por tanto para calcular la vA mínima considero que será aquella que haga llegar a la esfera a B con velocidad cero.

El balance de energía entre los puntos A y B queda así:

E1

Donde el signo depende del sentido en que se lance la esfera. Si es como muestra el dibujo lo habitual es tomar signo negativo para expresar que la velocidad inicial es hacia abajo.

Para aclarar las diferencias entre la varilla y la cuerda conviene analizar el proceso de manera dinámica, empleando la Segunda Ley de Newton. En el punto B de la trayectoria las fuerzas que actúan sobre la esfera son su peso y la fuerza normal como muestra la figura.

Imagen 1

En el punto B, la esfera presenta aceleración tangencial puesto que está variando el módulo de su velocidad y aceleración normal o centrípeta porque está variando la dirección de la misma. Aplicando la Segunda Ley de Newton en el eje vertical, donde la aceleración existente es la aceleración centrípeta, podemos plantear la siguiente ecuación:

E2

Si la velocidad de la esfera en el punto B es cero, obtenemos:

E3

Que indica que, en este caso, la normal sujeta a la bola neutralizando su peso. Es clave comprender que la fuerza normal aparece en todos los cuerpos apoyados, la fuerza normal es la expresión matemática del hecho de estar apoyado en algo que neutraliza el tiron de la gravedad.

En el caso de que la esfera esté unida a una cuerda, esta esfera no presenta fuerza normal y por tanto no puede llegar con velocidad cero al punto B puesto que en ese caso nada contrarrestaría al peso y la esfera caería al suelo sin terminar de completar la vuelta. Podemos comprobarlo escribiendo las ecuaciones adecuadas. Las fuerzas que actúan sobre la esfera en el punto B son su peso y la tensión de la cuerda, tal y como muestra la figura.

Imagen2

En la dirección de estas fuerzas actúa la aceleración normal . Por tanto aplicando la segunda ley de Newton tenemos:

E4

Siendo ahora positiva la tensión puesto que tiene el mismo sentido que el del peso, que tomamos como positivo. Matemáticamente comprobamos lo que ya habíamos intuido con el sentido común: la velocidad en el punto más alto de la trayectoria no puede ser cero puesto que eso daría lugar a:

E5

Expresión que no puede cumplirse al ser peso y la tensión fuerzas positivas. Es importante señalar como las matemáticas nos confirman de manera irrefutable lo que el sentido común nos muestra. El sentido común (la experiencia) puede engañarnos pero las expresiones matemáticas nunca lo hacen.

El peso no puede modificarse puesto que es una característica del cuerpo y del planeta en que se desarrolla el problema. Por contra, la tensión es una fuerza característica del proceso, es decir, la tensión de la cuerda depende de cómo se desarrolle el proceso y de hecho, como muestra la ecuación 7, la velocidad de la esfera y la tensión de la cuerda están ligadas. Esto se percibe claramente haciendo la prueba de dar vueltas a un peso atado a una cuerda, cuanto más deprisa gira el peso más tensa está la cuerda.

Por tanto, ¿Cuál es la menor velocidad a la que puede llegar la esfera al punto B? De la ecuación 7 se deduce que será la velocidad asociada a una tensión de la cuerda igual a cero. En este caso la ecuación queda como:

E6

Y por tanto:

E7

Si esta es la velocidad mínima que debe poseer la esfera en el punto B, volviendo a plantear el balance de energía entre A y B obtenemos:

E8

Siendo el valor superior al obtenido para el caso de la esfera ligada a una varilla rígida (Ecuación 4)

Para terminar resulta interesante analizar un poquito más la ecuación 7, en concreto los valores que puede tomar  la velocidad en el punto B:

E9

1) La esfera toma una trayectoria circular en la que la tensión es cero, es decir, exactamente igual que si no hubiera cuerda.

2) La esfera toma una trayectoria circular pero ahora existe tensión en la cuerda. La tensión será mayor cuanto mayor sea la velocidad.

3) La ecuación 7 no puede cumplirse puesto que la tensión no puede ser negativa. ¿Qué es lo que sucede entonces? La esfera no puede seguir llevando una trayectoria circular de radio R, la única solución es que la tensión sea cero y el radio se reduzca, por tanto la bola cae.

4. COMENTARIO FINAL

La fuerza Normal es una de las fuerzas que más problemas crean a los estudiantes que muchas veces no son capaces de asociarla a los cuerpos apoyados. Por ejemplo: ¿Cómo expresar matemáticamente que un cuerpo deslizando por una superficie semicircular abandona dicha superficie? Muy fácil, esta ecuación es N=0, si no está apoyado no existe fuerza normal.

La imagen de cabecera del problema es del Dragon Khan en Port Aventura. Obviamente, los vagones que circulan por la montaña rusa tienen varios sistemas de seguridad pero en los loopings el mejor sistema es atravesarlos con la suficiente velocidad. Si el vagón está anclado a las vías tendríamos la situación análoga a la esfera unida a la varilla, en caso contrario sería análogo a la esfera unida a la cuerda.

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